수와 수 사이의 관계 또는 수와 수 사이의 연산 등을 연구하고 이에 관한 문제를 풀기 위해 사용하는 수학의 한 분야. 산수, 셈법이라고도 한다.

일반적으로 양의 정수, 분수, 소수 및 양에 대한 계산을 중심으로 수량에 대한 지식과 그것을 응용하여 문제를 해결하는 것을 뜻하지만, 학문적으로는 정수의 성질을 논하는 것을 의미한다.

수학을 분류하였을 때, '아리스메틱'이라고 하면 정수의 성질을 연구하는 정수론을 의미하며, 수론이라고도 한다. 즉 산술 은 대수학의 일부분으로서 정수론에 속한다.

고대 중국 에서는 수학 전반을 의미하는 말로 사용되었으며, 기원전 1,000년 전에 나온 《구장산술》에는 대수와 기하까지 다루고 있다.

수량은 일상 생활과 밀접하게 관련되어 있기 때문에 산술의 역사는 길며, 수판셈이 발달한 이후로는 수판셈의 의미로 사용되었다. 제2차 세계 대전 전의 초등 학교 교육 의 한 교과로서의 산술은 대수·기하· 삼각법에 들어가기 전 단계로서, 여러 가지 셈을 다루었다. 그렇지만 전쟁 후에는 초등 학교의 교육 과정에 대수, 기하의 초보 단계도 포함되어 산술이란 말도 산수라고 이름을 바꾸고, '학구산' 등과 같은 산술 특유의 방법으로 푸는 사칙 응용 문제는 일반적으로 다루지 않게 되었다.

사칙 응용 문제의 해법으로는 예로부터 여러 가지 유형이 쓰여 왔는데, 예를 들면 학구산, 귀일법, 환원산, 합·차산, 수류산, 식목산, 과부족산, 소거산, 시계산 등이 그것이다. 이와 같은 산술적 해법은 지금의 수학 교육에서는 중요하지 않으나, 수학사에서는 매우 깊은 의의가 있다. 산술에 쓰이는 수에는 자연수· 정수· 유리수(정수와 양과 음의 분수 또는 소수)·실수(유리수와 무리수), 그리고 그 외에 여러 가지 색다른 수 체계들이 있다.

수 체계는 산술로 처리해야 하는 물리적 상황에 따라 달리 선택된다. 실제로 모든 사회마다 어떤 형태로든 수를 다루는 방법이 있었으며 원시 사회에서는 수 체계가 '하나'와 '하나 이상'을 뜻하는 명칭과 같이 단순하였을 것이다.

그러나 약 5,000년 전 메소포타미아 의 수메르인은 상당히 수준이 높은 산술을 사용하였으며, 세계 여러 곳에서도 정교한 산술 체계를 독자적으로 발전시켰다.

오늘날 전세계에서 널리 사용하는 숫자 표기법은 10을 기수로 하는 자릿값 체계이며, 아라비아 또는 힌두-아라비아 수 체계라고 한다. 이 수 체계에서 기호의 위치는 기호의 값을 결정한다. 예를 들면 333에서 제일 오른쪽의 3은 3을, 가운데 3은 30을, 그리고 왼쪽의 3은 300을 뜻한다.

한편 로마 숫자에서 CCC는 300을 뜻하는데, 각 C는 100을 나타내고, C들의 상호 위치는 중요하지 않다. 로마 수 체계에서도 기호의 순서에 대한 규칙이 있으며, 순서가 바뀌면 빼기를 뜻하지만, 위치는 별로 중요하지 않다.

아라비아 수 체계와 같은 자릿값 체계는 기호 체계의 경제성과 계산의 효율면에서 뚜렷한 이점이 있으며, 어떤 크기의 숫자라도 이를 나타내기 위해서는 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 등 10개의 기호 와 소수점만 있으면 된다.

앞에서 언급한 수 등을 이용하여 다루는 산술은 다음의 두 가지로 구별할 수 있다. 일정한 수를 쓰고 일반적인 계산을 뜻하는 '산수'와, 알파벳 문자 를 써서 나타내며, 대수적 계산이라고도 하는 '문자 계산'이다.

둘 중 어느 경우에도 계산은 덧셈· 뺄셈· 곱셈 · 나눗셈의 네 가지 기본 연산으로 이루어진다.

산술에는 복소수와 4 원수의 산술이나 정수론과 같은 어려운 주제도 있지만, 정수· 유리수의 산술과 이들의 실수 체계의 관계만으로도 충분히 해석할 수 있다.