미분법을 응용하여 평면 및 공간에서의 곡선· 평면 등의 성질을 연구하는 기하학의 한 분야.

기하학은 공간의 수리적 성질을 연구하는 수학의 한 분야로, 고대 이집트에서 시작된 이래 지중해를 건너 그리스로 전파되었다. 그 곳에서 탈레스와 피타고라스의 노력에 의해 비약적으로 발전하였으며, 유클리드의 《기하학 원본(Stoicheia)》에 이르러 기하학(초등 기하학)의 체계가 비로소 완성되었다.

17세기에 접어들어 R. 데카르트는 좌표라는 개념을 기하학에 도입하여 해석 기하학(解析幾何學)을 확립하였다. 이것은 L. 오일러의 노력으로 더욱 진전되었고, 그 후 I. 뉴턴 과 G.W. 라이프니츠에 의해서 미적분학이 발견됨에 따라 기하학은 다시 미분 기하학(微分幾何學)으로 발전하였다.

고전적인 의미의 미분 기하학은 K.F. 가우스에 의해 확립되었다. 국소적 미분 기하학이라는 한 유형은 주로 한 점 근처로 제한된 정의역에서의 성질을 다룬다.

이것은 18세기 유럽의 수학자 L. 오일러와 G. 몽주가 시작한 뒤 19세기 들어서 K.F. 가우스·피에르 오시앙 보네·장 프레데리크 프르네와 에우제니오 벨트라미 등에 의해 철저하게 연구되었다.

적분 기하학 또는 대역적 기하학은 주로 곡면의 유한한 부분이나 곡면 전체에 관심을 두며 20세기에 빌헬름 블라슈케와 다른 수학자들이 이를 더욱 더 발전시켰다.

미분 기하학의 예를 들어보면 평면 곡선 위의 어떤 점에서 그 곡선에 접하는 접선을 찾는 것을 들 수 있다. 이 방법은 곡선 위의 한 점을 지나는 모든 직선들 가운데 그 점에서 곡선과 기울기 가 같은 직선을 찾는 것과 같다.

유클리드 미분 기하학은 유클리드 공간의 매끄러운 곡선 또는 곡면 등에 대하여 그 위에 있는 한 점의 제한된 정의역에서의 성질을 미분법 을 이용하여 연구한다.

L. 오일러·J. 라그랑주·G. 몽주에 의해서 연구가 진척되어 가우스의 곡면론에 의하여 그 기초가 확립되었다.

그 후 1854년 B. 리만이 《기하학의 기초를 이룬 가설에 관하여》라는 논문에서 리만 기하학의 개념을 확립하면서부터 미분 기하학의 연구, 3 차원 유클리드 공간 내의 곡선· 곡면의 연구로부터 다차원 공간에서의 연구로 보다 넓은 의미의 기하학으로 발전되었다.

이 기하학은 A. 아인슈타인에 의해서 일반 상대성 이론에 응용되었다.