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사영 기하학 (射影幾何學) (ENCY018941)
요 약 : 기하 도형과 이를 사영한 형상과의 관계를 다루는 수학의 한 분야.
분 류 :
지식 : 자연과학 > 수학 [1281 자]
     

기하 도형과 이를 사영한 형상과의 관계를 다루는 수학의 한 분야.
 
도형의 성질 가운데 평면 위의 도형을 그 평면 밖의 한 점에서 빛을 비추어 그림자 처럼 다른 평면 위에 옮기어 놓아 점은 점으로, 선은 선으로, 면은 면으로 그 밖의 요소는 그 밖의 요소로 각각 1:1 대응시키는 사영 변환에 의하여 크기 개념을 떠나 변하지 아니하는 기하학적 성질을 연구하는 기하학의 한 갈래이다.
 
사영 기하학이 발달하게 된 발단은 공간적인 물체나 경치를 평면에 투영시켜서 표현하는 투시도를 생각하면서, 그에 대한 수학적인 기초로 원근법을 이해하게 된 것이었다.
 
역사적으로 사영 기하학이 시작된 것은 프랑스의 수학자이자 건축 기술자인 G. 데자르그에 의해서였는데, 그는 1630년경 파리의 수학자 모임에서 기하학을 연구하다가 무한대의 거리에 시점을 두고 시선에 직각으로 놓인 평면에 시물을 비추어서 그리는 투시도법의 원리를 순수 기하학에 적용하여 사영적(射影的)으로 기하학적인 표시법의 체계를 세웠던 것이다.
 
또, 천재적인 수학자 블레즈 파스칼은 데자르그의 제자였으므로 그의 이론에 많은 영향을 받았다. 하지만 데자르그의 사영학적인 이론은 그 당시에는 별로 인정받지 못하였다.
 
그 이후 약 2세기가 지나서 프랑스의 공학자 장 빅토르 퐁슬레에 의해 도형의 사영적 성질에 대한 면밀한 연구가 전개되었다. 그는 나폴레옹의 러시아 원정 때에 군대를 따라 싸움터에 나갔다가 포로가 되었는데, 포로 수용소에서 이러한 연구를 진행하였다고 한다. 그 후에 포로 수용소를 나와 프랑스로 돌아와서 1814년에 연구 결과를 발표하였다. 그의 연구로 말미암아 도형의 사영적 이론 은 수학의 한 분과로서 사영 기하학이라는 위치를 갖게 되었다.
 
그 후 F. 클라인, 슈타우트, 버코프 등은 순수 기하학적인 공리군에서 출발하여 사영 기하학을 구성하고 발전시켰다.
 
사영 기하학에서는 점·직선·평면을 기초 도형으로 하여 이들 사이의 결합 관계를 연구하고 도형 의 양적인 성질은 의미를 갖지 않으므로 고려하지 않는다.
 
사영 기하학은 유클리드 기하학뿐만 아니라 비유클리드 기하학까지도 포함될 수 있는 보다 일반적인 기하학이라고 할 수 있는데, 이는 사영 변환을 차차 특수화하여 아핀 변환을 함으로써 아핀 기하학이 구성되고 이를 다시 특수화하여 유클리드의 합동 변환에서 변하지 않는 도형의 성질을 연구함으로써 유클리드 기하학 등이 구성되며, 이와 같은 사영 변환을 특수화하면 비유클리드 기하학도 사영 기하학에서 구성될 수 있기 때문이다.

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사영 기하학 (射影幾何學)
최종수정일 :   2007-08-29 작성자 :   XPILOT