평면 위의 한 점 O로부터 일정한 거리만큼 떨어져 있는 모든 점 P의 집합. 이것을 원 O라 하며, 점 O를 원의 중심, 선분 OP를 원의 반지름이라 한다. 평면 X위의 반지름 r인 원 O를 집합 기호로 나타내면, 원 O={P|P∈X, m(*)=r}와 같고, 이에 따라 원의 내부, 외부, 원주는 각각 다음과 같이 정의된다. 원 O의 내부={P|m(*)r}이며, 원주={P|m(*)=r}이다.

원주 위의 두 점 사이에 끼인 원주의 일부를 호라 하며, 호 AB 또는 *로 나타낸다. 짧은 쪽을 열호, 긴 쪽을 우호라 하는데, 호 AB라 할 때는 보통 열호를 말한다. 또 원주 위의 두 점 A, B를 잇는 선분을 현 AB라 하며, 특히 중심을 지나는 현을 지름이라 한다. 또 ∠AOB를 호 AB에 대한 중심각이라 하고, 호 AB와 반지름 OA, OB의 합집합을 부채꼴 OAB라 하며, 현 AB와 호 AB의 합집합을 활꼴 AB라 한다. 또 원주 위의 한 점 P에서 그은 두 현 PA, PB가 이루는 ∠APB를 P를 포함하지 않는 호 AB에 대한 원주각이라 한다.

원의 중심을 O, 반지름을 r라 하고, 중심으로부터 어떤 직선에 내린 수선의 길이를 d라 할 때 dr 이면 원과 직선은 만나지 않는다. 이 때 d=r 인 경우의 직선을 원의 접선이라 하며, 만나는 한 점을 접점 이라 한다. 접선은 접점을 한 끝으로 하는 반지름에 항상 수직이다. 또 두 원에 동시에 접하는 직선을 두 원의 공통접선 이라 한다. 특히 두 원이 접선에 대하여 같은 쪽에 있으면 그 접선을 공통외접선, 서로 반대쪽에 있으면 공통내접선 이라 한다.

원 O와 O′에서 반지름의 길이를 각각 r, r′(r>r′), 중심거리 *을 d라 할 때 이들 두 원 사이에는 다음과 같은 관계가 성립된다. ① 한 원이 다른 원의 외부에 있으면 r＋r′《d이고, 공통외접선 2개, 공통내접선 2개가 있다. ② 두 원이 외접하면 r＋r′=d이고, 공통외접선 2개와 공통내접선 1개가 있다. ③ 두 원이 두 점에서 만나면 r­r′

 

원과 삼각형

삼각형의 세 꼭지점을 지나는 원을 외접원이라 하며, 그 중심을 삼각형의 외심이라 한다. 외심은 삼각형의 세 변의 수직이등분선이 만나는 점이다. 또 삼각형의 세 변을 접선 으로 하는 원을 내접원이라 하며, 그 중심을 삼각형의 내심이라 한다. 내심은 삼각형의 세 각의 이등분선이 만나는 점이다. 삼각형의 한 변과 다른 두 변의 연장에 접하는 원을 방접원이라 하며, 중심을 방심이라 한다.

 

원과 사각형

사각형의 각 꼭지점이 원주상에 있을 때 이 사각형을 내접사각형이라 한다. 또 사각형의 각 변이 원의 접선이 되어 있을 때 이 사각형을 외접사각형이라 한다. 외접사각형의 대변의 길이 의 합은 서로 같다. 또 내접사각형의 한 쌍의 대각의 크기의 합은 반드시 180°이다.

 

원주율

원주의 길이와 지름과의 비율은 원의 반지름의 크기에 관계없이 항상 일정한데, 이 비율을 원주율이라고 하며, π( 파이 )로 나타낸다. 원주율의 값은 π=3.141592…인 무리수인데, 보통 π=3.14의 값으로 쓰며, 원주의 길이는 2πr, 원의 넓이는 πr²이다.