위상 기하학 용어로 어떠한 지도라도 4가지 색만으로 칠하여 인접한 나라를 구분할 수 있다는 것을 증명하는 문제. 여기서 인접한 나라라고 하는 것은 점에서 접해 있을 경우는 제외하고, 어떤 길이의 경계에 따라 인접하고 있는 것을 의미한다. 이 문제는 1840년 A.F. 뫼비우스에 의하여 처음으로 제기되었고, 또 1852년 물리 학자 F. 거스가 학생 시절에 그의 형으로부터 '선으로 접하는 나라를 다른 색을 사용하여 구분하려고 할 때 필요한 색의 최대 수는 4이다'라는 문제의 증명을 듣고, 당시 런던 대학교에서 교수로 있던 A. 드 모르강에게 그것이 옳은지를 질문하였는데, A. 드 모르강도 정답을 알지 못하여 다시 저명한 수학자이자 물리학자인 W.R. 해밀턴에게 문의하였다고 한다. 그 뒤 1878년에 A. 케일리에 의하여 학회에 논제로 제출되면서, 점차 연구가 진행되어 여러 사람이 증명해 보려고 노력 하기 시작하였다. 1879년 A.B. 켐퍼는 드디어 이것을 증명하여 《4색 문제에 대한 지리학적 문제》라는 제목의 논문을 제출하였지만, 약 10년 뒤에 그의 증명에는 오류가 있는 것으로 P. J. 히우드에 의하여 밝혀졌고 1890년에는 그에 의하여 '어떠한 지도라도 5가지 색으로 칠하면 구분할 수 있다'는 것이 증명되기도 하였지만 4색 문제는 여전히 증명되지 않는 수학상의 난문제로 남아 있었다. A.B. 켐퍼의 오류를 수정 하기 위하여 수학자들은 거의 100년 가까이 노력을 기울였으며, H. 헤슈 같은 사람은 1936년부터 거의 40년 동안이나 이 문제의 해결에 매달려 많은 진전을 보았다. 그러다가 1976년 8월 H. 헤슈의 제자인 울프강 하켄 교수와 그의 협력자 케네스 아펠 교수의 주도 아래, 일리노이 대학교의 수학자들은 마침내 4색 문제를 완전하게 증명해 내었다. 그들은 4년 동안 전자 계산기를 1,200시간 가동시켜 계산해 내었다고 하는데, 방법은 먼저 지도를 그 배치의 특징에 따라 약 1,879개의 경우로 분류하고, 전자 계산기를 사용하여 그 각각의 경우마다 4색으로 칠하여 구분할 수 있다는 것을 증명함으로써, 모든 지도는 네 가지 색을 사용하여 구분할 수 있다는 결론을 이끌어 내는 일종의 수학적 귀납법을 사용하였다.