가우스 곡면 상의 기하학에서는 길이가 서로 같은 곡면에 공통인 성질, 즉 3 차원 유클리드 공간 내만을 생각하고 있었다. 가우스의 제자인
G.B. 리만은
1854년 그 자신의 복소 함수론과 물리학 연구에 근거하여 2차 미분 형식 ds"{2}만에 의한 공간을 정의하고, 일반적인 n 차원으로 확장해서 이것을 추상화시켰다. 이것이 n 차원 유클리드 공간에서 n 차원 리만 공간으로의 확장이고, 이것을 다루는 기하학이 리만 기하학이다.
리만 기하학은 타원적 비유클리드 기하학이라고도 하며, 구면 기하학으로 표현된다. 공간은 구면상에서 대심점(對心點)과 동일시되며, 대원(大圓)을 직선으로 생각한 것으로 표현한다. 즉, 구면상의 두 직선은 대원호(大圓弧)이므로 반드시 만난다. 따라서, '직선 밖의 한 점을 지나, 이것에 평행한 직선은 존재하지 않는다.'를 공리로 한다.
특수한 리만 공간으로는, 아인슈타인 공간· 대칭 공간·준사영 공간(準射影空間) 등이 있다.
또 리만 기하학은
미분 기하학 ·
텐서 기하학 등 넓은 응용면을 가지고 있어 현재도 많이 연구되고 있다.
